حساب المثلثات الأمثلة

${(3 (\cos (20) + i \sin (20)))}^{4}$

خطوة 1

طبّق خاصية التوزيع.

${(3 \cos (20) + 3 (i \sin (20)))}^{4}$

خطوة 2

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

${(3 \cos (20))}^{4} + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \cos (20)$ .

$3^{4} \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 {(3 \cos (20))}^{3} (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 \cos (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{3} \cos^{3} (20)) (3 i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.4

اضرب $3^{3}$ في $3$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

انقُل $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3 \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.4.2

اضرب $3$ في $3^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1} \cdot 3^{3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{1 + 3} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.4.3

أضف $1$ و $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (3^{4} \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 4 (81 \cos^{3} (20)) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.6

اضرب $81$ في $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) (i \sin (20)) + 6 {(3 \cos (20))}^{2} {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $3 \cos (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (3^{2} \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 6 (9 \cos^{2} (20)) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.9

اضرب $9$ في $6$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) {(3 i \sin (20))}^{2} + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.10

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.10.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.10.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.11

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 i^{2} \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.12

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.13

اضرب $9$ في $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) + 54 \cos^{2} (20) (- 9 \sin^{2} (20)) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.14

اضرب $- 9$ في $54$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 4 (3 \cos (20)) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.15

اضرب $3$ في $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) {(3 i \sin (20))}^{3} + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.16

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.16.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.16.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.17

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 i^{3} \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.18

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.19

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.20

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (27 (- i) \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.21

اضرب $- 1$ في $27$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 12 \cos (20) (- 27 i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.22

اضرب $- 27$ في $12$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) (i \sin^{3} (20)) + {(3 i \sin (20))}^{4}$

خطوة 3.1.23

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.23.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 i \sin (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + {(3 i)}^{4} \sin^{4} (20)$

خطوة 3.1.23.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 i$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 3^{4} i^{4} \sin^{4} (20)$

خطوة 3.1.24

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 i^{4} \sin^{4} (20)$

خطوة 3.1.25

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.25.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (20)$

خطوة 3.1.25.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (20)$

خطوة 3.1.25.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \cdot 1 \sin^{4} (20)$

خطوة 3.1.26

اضرب $81$ في $1$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

خطوة 3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $81 \cos^{4} (20) + 324 \cos^{3} (20) i \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 \cos (20) i \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$ .

$81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

خطوة 3.2.2

أعِد ترتيب $81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20)$ و $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20)$ .

$- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20) + 81 \sin^{4} (20)$

خطوة 3.2.3

أعِد ترتيب $- 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$ و $81 \sin^{4} (20)$ .

$81 \sin^{4} (20) - 486 \cos^{2} (20) \sin^{2} (20) + 81 \cos^{4} (20) + 324 i \cos^{3} (20) \sin (20) - 324 i \cos (20) \sin^{3} (20)$