حساب المثلثات الأمثلة

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ على $\csc (\frac{x}{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ على $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\csc (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

خطوة 1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $\csc (\frac{x}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

خطوة 1.3.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

خطوة 1.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ارفع $\sin (\frac{x}{2})$ إلى القوة $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $\sin (\frac{x}{2})$ إلى القوة $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

خطوة 1.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

خطوة 1.3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

خطوة 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

خطوة 4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

خطوة 5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

خطوة 5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

خطوة 5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

خطوة 6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 7.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = π$

خطوة 7.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

خطوة 7.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1

بسّط $2 (π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 7.5.2.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 7.5.2.2.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = π \cdot 2 - π$

خطوة 7.5.2.2.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = 2 π - π$

خطوة 7.5.2.2.1.4

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 7.6

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.6.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 7.6.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 7.6.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 7.7

فترة دالة $\sin (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

خطوة 8.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = - π$

خطوة 8.4

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 8.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 8.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 8.5.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = 3 π$

خطوة 8.6

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.6.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 8.6.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 8.6.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 8.7

اجمع $4 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اجمع $4 π$ مع $- π$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- π + 4 π$

خطوة 8.7.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$3 π$

خطوة 8.7.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 3 π$

خطوة 8.8

فترة دالة $\sin (\frac{x}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

اسرِد جميع الحلول.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

وحّد الإجابات.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$