حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 x) + \cos (x) = 2$

خطوة 1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\cos (2 x) + \cos (x) - 2 = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) - 2 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب في $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 2$ زائد $3$

$2 \cos^{2} (x) + (- 2 + 3) \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 \cos (x) (\cos (x) - 1) + 3 (\cos (x) - 1) = 0$

خطوة 3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $\cos (x) - 1$ .

$(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$2 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) = 1$

خطوة 5.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 5.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 3$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 3$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 3}{2}$

خطوة 6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{3}{2}$

خطوة 6.2.3

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- \frac{3}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$