حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 x) + 5 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 1

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 5 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 1.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$2 \cos^{2} (x) + 2 + 5 \cos (x) = 0$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 2.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ ومجموعهما $b = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $5$ في صورة $1$ زائد $4$

$2 \cos^{2} (x) + (1 + 4) \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 2.2.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) + 2 (2 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 2.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 2$

خطوة 5.2.2

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 2$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$