حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 1

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 1.2

أضف $2 \cos^{2} (x)$ و $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2

حلّل $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (x)$ بالصيغة ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2} = 0$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب $- 1^{2}$ و ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

خطوة 2.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 \cos (x)$ و $b = 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 5.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ادمج $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ و $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7.2

ادمج $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ و $\frac{π}{3} + 2 π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$