حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 x) = 11 \sin (x) - 5$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $11 \sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$\cos (2 x) - 11 \sin (x) = - 5$

خطوة 1.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (2 x) - 11 \sin (x) + 5 = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 11 \sin (x) + 5 = 0$

خطوة 2.2

أضف $1$ و $5$ .

$6 - 2 \sin^{2} (x) - 11 \sin (x) = 0$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 \sin^{2} (x) - 11 \sin (x) + 6 = 0$

خطوة 3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 2 \cdot 6 = - 12$ ومجموعهما $b = - 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 11$ من $- 11 \sin (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - 11 \sin (x) + 6 = 0$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $- 11$ في صورة $1$ زائد $- 12$

$- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 12) \sin (x) + 6 = 0$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 12 \sin (x) + 6 = 0$

خطوة 3.2.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 12 \sin (x) + 6 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 12 \sin (x) + 6 = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 6 (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

خطوة 3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 2 \sin (x) + 1$ .

$(- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 6) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 6 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $- 2 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (x) = - 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 5.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 5.2.6

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 5.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\sin (x) + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + 6 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = - 6$

خطوة 6.2.2

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 6$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 6) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$