حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

خطوة 1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

خطوة 2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

خطوة 3

اطرح $3 \sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

خطوة 4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = - 2$ و $b = - 3$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

خطوة 4.5.1.2.2

اضرب $8$ في $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

خطوة 4.5.1.3

أضف $9$ و $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

خطوة 4.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

خطوة 4.7

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

خطوة 4.8

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

خطوة 4.9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 4.10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

خطوة 4.10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

خطوة 4.10.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

خطوة 4.10.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.4.1

اطرح $2 π$ من $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

خطوة 4.10.4.2

الزاوية الناتجة لـ $2.85698969$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2.85698969$

خطوة 4.10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.10.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.11

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$