حساب المثلثات الأمثلة

${(1 + i)}^{6}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.3

اضرب $6$ في $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.5

اضرب $15$ في $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.7

اضرب $15$ في $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.9

اضرب $20$ في $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.10

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.11

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.12

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.13

اضرب $- 1$ في $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.14

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.15

اضرب $15$ في $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.16

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.16.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.16.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.16.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.17

اضرب $15$ في $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.18

اضرب $6$ في $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

خطوة 2.1.19

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

خطوة 2.1.20

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.20.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

خطوة 2.1.20.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

خطوة 2.1.20.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

خطوة 2.1.21

اضرب $i$ في $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

خطوة 2.1.22

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

خطوة 2.1.23

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.23.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

خطوة 2.1.23.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

خطوة 2.1.23.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

خطوة 2.1.24

اضرب $i^{2}$ في $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

خطوة 2.1.25

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $15$ من $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $- 14$ و $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $1$ من $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

خطوة 2.2.2.3

أضف $0$ و $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

خطوة 2.2.3

اطرح $20 i$ من $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

خطوة 2.2.4

أضف $- 14 i$ و $6 i$ .

$- 8 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 0$ و $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

خطوة 6.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 8$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

خطوة 8

بما أن المتغير المستقل غير معرّف و $b$ سالبة، إذن زاوية النقطة في المستوى العقدي هي $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{2}$ و $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$