حساب المثلثات الأمثلة

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

خطوة 1

استبدِل $\cot^{2} (x)$ بـ $\csc^{2} (x) - 1$ بناءً على المتطابقة $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

خطوة 2

عوّض بقيمة $\csc (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $u$ و $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

خطوة 3.2

انقُل $5$ إلى يسار $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

خطوة 4

أضف $\frac{5 u}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

خطوة 5

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

خطوة 5.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

خطوة 6

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

خطوة 7

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 8

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 5$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.1.2.2

اضرب $- 8$ في $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.1.3

اطرح $16$ من $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.1.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

خطوة 10

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 11

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 12

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

خطوة 13

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

مدى دالة قاطع التمام هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $- \frac{1}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 14

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (- 2)$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (- 2)$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 14.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 14.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 14.5

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 14.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 14.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 14.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 14.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 14.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 14.6.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 14.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 14.7

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$