حساب المثلثات الأمثلة

$\cot^{2} (x) - 4 \csc (x) = - 5$

خطوة 1

استبدِل $\cot^{2} (x)$ بـ $\csc^{2} (x) - 1$ بناءً على المتطابقة $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) - 4 \csc (x) = - 5$

خطوة 2

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$\csc^{2} (x) - 4 \csc (x) - 1 = - 5$

خطوة 3

عوّض بقيمة $\csc (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = - 5$

خطوة 4

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$u^{2} - 4 u - 1 + 5 = 0$

خطوة 5

أضف $- 1$ و $5$ .

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

خطوة 6

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

خطوة 6.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

خطوة 6.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

خطوة 6.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 2$ .

${(u - 2)}^{2} = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة $u - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 2 = 0$

خطوة 8

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 2$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 2$

خطوة 10

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (2)$

خطوة 11

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (2)$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 12

دالة قاطع التمام موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 13

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 13.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 13.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 13.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 14

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$