حساب المثلثات الأمثلة

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

خطوة 1

اطرح $\cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

خطوة 2

ربّع كلا المتعادلين.

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3

بسّط ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{3} \sin (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

خطوة 4

بسّط ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(1 - \cos (x))}^{2}$ بالصيغة $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

خطوة 4.2

وسّع $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $- \cos (x)$ في $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

خطوة 4.3.1.4.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

خطوة 4.3.1.4.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

خطوة 4.3.1.4.4

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

خطوة 4.3.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

خطوة 4.3.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 4.3.2

اطرح $\cos (x)$ من $- \cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 5

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 5.2

أضف $2 \cos (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

خطوة 5.3

اطرح $\cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 6

استبدِل $3 \sin^{2} (x)$ بـ $3 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 7.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اطرح $1$ من $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 8.2

اطرح $\cos^{2} (x)$ من $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 9

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

خطوة 10

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

خطوة 11

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

خطوة 11.1.2

أخرِج العامل $- 2$ من $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

خطوة 11.1.3

أخرِج العامل $- 2$ من $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

خطوة 11.1.4

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

خطوة 11.1.5

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

خطوة 11.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

خطوة 11.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

خطوة 11.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 11.2.1.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 11.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 11.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

خطوة 11.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 11.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 12

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u + 1 = 0$

خطوة 13.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 u = - 1$

خطوة 13.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 13.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 13.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

خطوة 13.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1}{2}$

خطوة 14

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 14.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 15

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 16

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 17

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

خطوة 18

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 18.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 18.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 18.4

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 18.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 18.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 18.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 18.4.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 18.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 18.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 18.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 18.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 18.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 19

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 19.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 19.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 19.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 19.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 19.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 19.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 19.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 19.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 20

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 21

وحّد الإجابات.

$x = \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 22

تحقق من صحة كل حل من الحلول بالتعويض بها في $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ وإيجاد الحل.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$