حساب المثلثات الأمثلة

$3 \sin^{2} (x) + 1 = 7 \sin (x)$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$3 {(u)}^{2} + 1 = 7 (u)$

خطوة 2

اطرح $7 u$ من كلا المتعادلين.

$3 u^{2} + 1 - 7 u = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 7$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $- 12$ في $1$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12}}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.1.3

اطرح $12$ من $49$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{6}$

خطوة 6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}, \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}, \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

خطوة 8

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\frac{7 + \sqrt{37}}{6}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{37}}{6})$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{37}}{6})$ .

$x = 0.1534747$

خطوة 10.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.1534747$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.1534747$

خطوة 10.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.1534747$

خطوة 10.4.3

اطرح $0.1534747$ من $3.14159265$ .

$x = 2.98811794$

خطوة 10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.1534747 + 2 π n, 2.98811794 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.1534747 + 2 π n, 2.98811794 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$