حساب المثلثات الأمثلة

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 2

استبدِل $\cos (x)$ بعبارة مكافئة في بسط الكسر.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 3

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 4

اضرب $4$ في $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 5

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 6

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 7

اجمع $4$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 8

اضرب $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{\cos (x)}$ و $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{4}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افصِل الكسور.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9.4

افصِل الكسور.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9.5

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 9.6

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

خطوة 10

احذِف العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ و $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

خطوة 10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب في $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

خطوة 10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

خطوة 10.2.4

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

خطوة 11

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

خطوة 11.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

خطوة 11.1.3

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

خطوة 11.1.4

اجمع $4$ و $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

خطوة 12

اضرب كلا المتعادلين في $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

خطوة 13

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

خطوة 14.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

خطوة 15

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

خطوة 15.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

خطوة 16

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

خطوة 16.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

خطوة 16.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

خطوة 16.4

أضف $1$ و $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

خطوة 17

اطرح $\cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 18

استبدِل $\cos^{2} (x)$ بـ $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 19

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

خطوة 19.2

بسّط $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

خطوة 19.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

خطوة 19.2.1.3

اضرب $- - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

خطوة 19.2.1.3.2

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

خطوة 19.2.2

اطرح $1$ من $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

خطوة 19.3

حلّل $4 u + 3 + u^{2}$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $4$ .

$1, 3$

خطوة 19.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

خطوة 19.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

خطوة 19.5

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 19.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 19.6

عيّن قيمة العبارة $u + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.6.1

عيّن قيمة $u + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 3 = 0$

خطوة 19.6.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$u = - 3$

خطوة 19.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u + 1) (u + 3) = 0$ صحيحة.

$u = - 1, - 3$

خطوة 19.8

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

خطوة 19.9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

خطوة 19.10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 19.10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 19.10.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 19.10.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 19.10.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 19.10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 19.10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 19.10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 19.10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 19.10.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 19.10.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 19.10.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 19.10.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 19.10.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.10.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 19.10.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 19.10.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 19.10.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 19.11

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.11.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 3$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 19.12

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 19.13

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$