حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

خطوة 3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

خطوة 3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $2 \cos (22.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (22.5)$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أعِد كتابة $22.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

خطوة 3.2.1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

خطوة 3.2.1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 3.2.1.1.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 3.2.1.1.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 3.2.1.1.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 3.2.1.1.5.4

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.5.4.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.2.1.1.5.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

خطوة 3.2.1.1.5.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

خطوة 3.2.1.1.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.5.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 3.2.1.1.5.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

خطوة 4

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

خطوة 5

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ في صورة ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

بسّط.

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ بالصيغة $2 + \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ في صورة ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 5.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 5.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 5.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 5.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

خطوة 5.3.1.5

بسّط.

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

خطوة 6

اطرح $A$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

خطوة 7

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

خطوة 8

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{B}$ في صورة $B^{\frac{1}{2}}$ .

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

خطوة 8.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

خطوة 8.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

بسّط.

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أعِد كتابة ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ بالصيغة $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ .

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

خطوة 8.3.1.2

وسّع $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.6

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

خطوة 8.3.1.3.1.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

خطوة 8.3.1.3.1.10

اضرب $A$ في $A$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1.10.1

انقُل $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

خطوة 8.3.1.3.1.10.2

اضرب $A$ في $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.1.11

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.1.12

اضرب $A^{2}$ في $1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.2.1

أضف $4$ و $2$ .

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.2.2

أضف $2 \sqrt{2}$ و $2 \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.2.3

اطرح $2 A$ من $- 2 A$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.2.4

أعِد ترتيب عوامل $\sqrt{2} (- A)$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

خطوة 8.3.1.3.2.5

اطرح $A \sqrt{2}$ من $- A \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$