حساب المثلثات الأمثلة

{cos}^{3} (x) - cos (x) = 0

$\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 1

حلّل

{cos}^{3} (x) - cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل

cos (x)

$\cos (x)$ من

{cos}^{3} (x) - cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل

cos (x)

$\cos (x)$ من

{cos}^{3} (x)

$\cos^{3} (x)$ .

cos (x) {cos}^{2} (x) - cos (x) = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل

cos (x)

$\cos (x)$ من

- cos (x)

$- \cos (x)$ .

cos (x) {cos}^{2} (x) + cos (x) \cdot - 1 = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل

cos (x)

$\cos (x)$ من

cos (x) {cos}^{2} (x) + cos (x) \cdot - 1

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ .

cos (x) ({cos}^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

cos (x) ({cos}^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

خطوة 1.2

أعِد كتابة

1

$1$ بالصيغة

1^{2}

$1^{2}$ .

cos (x) ({cos}^{2} (x) - 1^{2}) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

خطوة 1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين،

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث

a = cos (x)

$a = \cos (x)$ و

b = 1

$b = 1$ .

cos (x) ((cos (x) + 1) (cos (x) - 1)) = 0

$\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

خطوة 1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

cos (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

cos (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

cos (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة

cos (x)

$\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة

cos (x)

$\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل جيب التمام.

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ

arccos (0)

$\arccos (0)$ هي

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

2 π

$2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لكتابة

2 π

$2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اجمع

2 π

$2 π$ و

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.3.1

اضرب

2

$2$ في

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.2.4.3.2

اطرح

π

$π$ من

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة

cos (x)

$\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 3.2.6

فترة دالة

cos (x)

$\cos (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة

$\cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة

$\cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة

$x$ في

$\cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح

$1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

$x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ

$\arccos (- 1)$ هي

$π$ .

$x = π$

خطوة 4.2.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

$2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 4.2.5

اطرح

$π$ من

$2 π$ .

$x = π$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة

$\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل

$b$ بـ

$1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

$0$ و

$1$ تساوي

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم

$2 π$ على

$1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.7

فترة دالة

$\cos (x)$ هي

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة

$\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ وأوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة

$\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة

$x$ في

$\cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف

$1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) = 1$

خطوة 5.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

$x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ

$\arccos (1)$ هي

$0$ .

$x = 0$

خطوة 5.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

$2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 5.2.5

اطرح

$0$ من

$2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة

$\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل

$b$ بـ

$1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

$0$ و

$1$ تساوي

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم

$2 π$ على

$1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.7

فترة دالة

$\cos (x)$ هي

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

$n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح

$n$