حساب المثلثات الأمثلة

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة $e^{2 x}$ في صورة أُس.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

خطوة 2

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 30$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ارفع $- 30$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.3

اطرح $4$ من $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.4

أعِد كتابة $896$ بالصيغة $8^{2} \cdot 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

أخرِج العامل $64$ من $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.4.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

خطوة 3.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

خطوة 4

عوّض بـ $15 + 4 \sqrt{14}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

خطوة 5

أوجِد حل $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

خطوة 5.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

خطوة 5.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

خطوة 5.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

خطوة 5.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

خطوة 6

عوّض بـ $15 - 4 \sqrt{14}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

خطوة 7

أوجِد حل $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

خطوة 7.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

خطوة 7.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

خطوة 7.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

خطوة 7.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

خطوة 8

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

الصيغة العشرية:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$