حساب المثلثات الأمثلة

$\tan^{2} (x) - \tan (x) - 2 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\tan (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

خطوة 1.2

حلّل $u^{2} - u - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1$

خطوة 1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\tan (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = 2$

خطوة 3.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (2)$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

احسِب قيمة $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

خطوة 3.2.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

خطوة 3.2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

خطوة 3.2.5.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

خطوة 3.2.5.3

أضف $3.14159265$ و $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

خطوة 3.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\tan (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 4.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 4.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 4.2.7.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.7.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 4.2.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 4.2.7.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 4.2.7.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

ادمج $1.10714871 + π n$ و $4.24874137 + π n$ في $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.10714871 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$