حساب المثلثات الأمثلة

$\tan^{2} (x) = 4 - 2 \tan (x)$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} = 4 - 2 u$

خطوة 2

أضف $2 u$ إلى كلا المتعادلين.

$u^{2} + 2 u = 4$

خطوة 3

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} + 2 u - 4 = 0$

خطوة 4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = - 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3

أضف $4$ و $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 6.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{5}$

خطوة 7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - 1 + \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5}$

خطوة 9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{5}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\tan (x) = 1.23606797$

خطوة 10.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1.23606797)$

خطوة 10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

احسِب قيمة $\arctan (1.23606797)$ .

$x = 0.89058134$

خطوة 10.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 0.89058134$

خطوة 10.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.89058134$

خطوة 10.5.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.89058134$

خطوة 10.5.3

أضف $3.14159265$ و $0.89058134$ .

$x = 4.032174$

خطوة 10.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 10.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 10.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 10.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 10.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.89058134 + π n, 4.032174 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - 1 - \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\tan (x) = - 3.23606797$

خطوة 11.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 3.23606797)$

خطوة 11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

احسِب قيمة $\arctan (- 3.23606797)$ .

$x = - 1.27108772$

خطوة 11.4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - 1.27108772 - (3.14159265)$

خطوة 11.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أضف $2 π$ إلى $- 1.27108772 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.27108772 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 11.5.2

الزاوية الناتجة لـ $1.87050492$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 1.27108772 - (3.14159265)$ .

$x = 1.87050492$

خطوة 11.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 11.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 11.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 11.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 11.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

اجمع $π$ مع $- 1.27108772$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 1.27108772 + π$

خطوة 11.7.2

استبدِل بتقريب الكسور العشرية.

$3.14159265 - 1.27108772$

خطوة 11.7.3

اطرح $1.27108772$ من $3.14159265$ .

$1.87050492$

خطوة 11.7.4

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 1.87050492$

خطوة 11.8

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.89058134 + π n, 4.032174 + π n, 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ادمج $0.89058134 + π n$ و $4.032174 + π n$ في $0.89058134 + π n$ .

$x = 0.89058134 + π n, 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13.2

ادمج $1.87050492 + π n$ و $1.87050492 + π n$ في $1.87050492 + π n$ .

$x = 0.89058134 + π n, 1.87050492 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$