حساب المثلثات الأمثلة

$\tan^{2} (x) = 2 \tan (x) + 1$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} = 2 (u) + 1$

خطوة 2

اطرح $2 u$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} - 2 u = 1$

خطوة 3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} - 2 u - 1 = 0$

خطوة 4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3

أضف $4$ و $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

خطوة 7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

خطوة 9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\tan (x) = 2.41421356$

خطوة 10.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (2.41421356)$

خطوة 10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

احسِب قيمة $\arctan (2.41421356)$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

خطوة 10.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{3 π}{8}$

خطوة 10.5

بسّط $π + \frac{3 π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{3 π}{8}$

خطوة 10.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $π$ و $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{3 π}{8}$

خطوة 10.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 8 + 3 π}{8}$

خطوة 10.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.3.1

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + 3 π}{8}$

خطوة 10.5.3.2

أضف $8 π$ و $3 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

خطوة 10.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 10.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 10.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 10.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 10.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\tan (x) = - 0.41421356$

خطوة 11.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 0.41421356)$

خطوة 11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

احسِب قيمة $\arctan (- 0.41421356)$ .

$x = - \frac{π}{8}$

خطوة 11.4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{8} - π$

خطوة 11.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = - \frac{π}{8} - π + 2 π$

خطوة 11.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{8}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

خطوة 11.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 11.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 11.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 11.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 11.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{8}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{8} + π$

خطوة 11.7.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

خطوة 11.7.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.3.1

اجمع $π$ و $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

خطوة 11.7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

خطوة 11.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.4.1

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

خطوة 11.7.4.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

خطوة 11.7.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{7 π}{8}$

خطوة 11.8

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$