حساب المثلثات الأمثلة

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

خطوة 1

استبدِل $\sec^{2} (x)$ بـ $1 + \tan^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

خطوة 2

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

خطوة 3

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

خطوة 4

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $2$ من $1$ .

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

خطوة 5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\tan (x) = 0.23606797$

خطوة 11.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0.23606797)$

خطوة 11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

احسِب قيمة $\arctan (0.23606797)$ .

$x = 0.2318238$

خطوة 11.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

خطوة 11.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

خطوة 11.5.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

خطوة 11.5.3

أضف $3.14159265$ و $0.2318238$ .

$x = 3.37341645$

خطوة 11.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 11.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 11.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 11.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 11.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\tan (x) = - 4.23606797$

خطوة 12.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

خطوة 12.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

احسِب قيمة $\arctan (- 4.23606797)$ .

$x = - 1.33897252$

خطوة 12.4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

خطوة 12.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أضف $2 π$ إلى $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 12.5.2

الزاوية الناتجة لـ $1.80262013$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = 1.80262013$

خطوة 12.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 12.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 12.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 12.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 12.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.7.1

اجمع $π$ مع $- 1.33897252$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 1.33897252 + π$

خطوة 12.7.2

استبدِل بتقريب الكسور العشرية.

$3.14159265 - 1.33897252$

خطوة 12.7.3

اطرح $1.33897252$ من $3.14159265$ .

$1.80262013$

خطوة 12.7.4

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 1.80262013$

خطوة 12.8

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ادمج $0.2318238 + π n$ و $3.37341645 + π n$ في $0.2318238 + π n$ .

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14.2

ادمج $0.2318238 + π n$ و $1.80262013 + π n$ في $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14.3

ادمج $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ و $1.80262013 + π n$ في $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$