حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1

اطرح $\frac{\sqrt{3}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

خطوة 2

استبدِل $\sin^{2} (x)$ بـ $1 - \cos^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

خطوة 3

اطرح $\cos^{2} (x)$ من $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

خطوة 4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

خطوة 5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\cos (x)$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

خطوة 5.2

أضف $\frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $\cos^{2} (x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

خطوة 6.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

خطوة 6.3.1.4

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.4.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.3.1.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

خطوة 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

خطوة 8

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

خطوة 8.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

خطوة 8.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

خطوة 8.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

خطوة 8.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 8.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 9

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 9.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 9.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

خطوة 11.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

خطوة 11.4

بسّط $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

خطوة 11.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

خطوة 11.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

خطوة 11.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.1

اضرب $12$ في $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

خطوة 11.4.3.2

اطرح $5 π$ من $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

خطوة 11.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 11.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 11.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

خطوة 12.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

خطوة 12.4

بسّط $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

خطوة 12.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

خطوة 12.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

خطوة 12.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.3.1

اضرب $12$ في $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

خطوة 12.4.3.2

اطرح $7 π$ من $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ادمج $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ و $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ في $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14.2

ادمج $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ و $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ في $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$