حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 1

استبدِل $\sin^{2} (x)$ بـ $1 - \cos^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2

اطرح $2 \cos^{2} (x)$ من $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 3 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $\cos^{2} (x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{3}$

خطوة 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 7

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 7.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 7.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 7.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 7.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 7.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 8

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 8.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.95531661$

خطوة 10.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

خطوة 10.4.2

بسّط $2 (3.14159265) - 0.95531661$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.95531661$

خطوة 10.4.2.2

اطرح $0.95531661$ من $6.2831853$ .

$x = 5.32786868$

خطوة 10.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 2.18627603$

خطوة 11.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

خطوة 11.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

خطوة 11.4.2

بسّط $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

خطوة 11.4.2.2

اطرح $2.18627603$ من $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

خطوة 11.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 11.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 11.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

ادمج $0.95531661 + 2 π n$ و $4.09690927 + 2 π n$ في $0.95531661 + π n$ .

$x = 0.95531661 + π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13.2

ادمج $5.32786868 + 2 π n$ و $2.18627603 + 2 π n$ في $2.18627603 + π n$ .

$x = 0.95531661 + π n, 2.18627603 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$