حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (x) + 8 \sin (x) - 4 = 0$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} + 8 (u) - 4 = 0$

خطوة 2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 8$ و $c = - 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.3

أضف $64$ و $16$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4

أعِد كتابة $80$ بالصيغة $4^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $80$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 4.3

بسّط $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 4 \pm 2 \sqrt{5}$

خطوة 5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

خطوة 7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\sin (x) = 0.47213595$

خطوة 8.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0.47213595)$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احسِب قيمة $\arcsin (0.47213595)$ .

$x = 0.49171223$

خطوة 8.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

خطوة 8.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.49171223$

خطوة 8.5.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

خطوة 8.5.3

اطرح $0.49171223$ من $3.14159265$ .

$x = 2.64988042$

خطوة 8.6

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

حوّل المتعادل الأيمن إلى مكافئه بالصيغة العشرية.

$\sin (x) = - 8.47213595$

خطوة 9.2

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 8.47213595$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 10

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$