حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cos^{2} (2 x) = 1$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $2 \cos^{2} (2 x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $2 \cos^{2} (2 x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos^{2} (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.1.2

اقسِم $\cos^{2} (2 x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

خطوة 2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 3

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 3.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.3.2

اضرب $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

خطوة 6.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

خطوة 6.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

خطوة 6.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 6.5.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 6.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 6.5.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

خطوة 6.5.1.5

اطرح $π$ من $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 6.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

خطوة 6.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

خطوة 6.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

خطوة 6.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.3.2

اضرب $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.2.1

اضرب $\frac{7 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 6.5.2.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

خطوة 6.6

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 6.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 6.6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 6.7

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 7.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 7.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 7.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

خطوة 7.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.3.2

اضرب $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 7.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

خطوة 7.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

خطوة 7.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 7.5.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 7.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$2 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

خطوة 7.5.1.5

اطرح $3 π$ من $8 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 7.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

خطوة 7.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

خطوة 7.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

خطوة 7.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 7.5.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 7.5.2.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

خطوة 7.6

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 7.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 7.6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 7.7

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ ، لأي عدد صحيح $n$