حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

خطوة 1

استبدِل $2 \cot^{2} (x)$ بـ $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ بناءً على المتطابقة $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\csc (x)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ ومجموعهما $b = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $3$ في صورة $- 1$ زائد $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

خطوة 5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 2 = 0$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u = - 2$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

مدى دالة قاطع التمام هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $\frac{1}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 13

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (- 2)$

خطوة 13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (- 2)$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 13.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 13.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 13.5

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 13.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 13.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 13.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 13.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 13.6.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 13.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 13.7

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$