حساب المثلثات الأمثلة

$16 \sin^{2} (x) = 16 - 8 \cos (x)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$16 \sin^{2} (x) - 16 = - 8 \cos (x)$

خطوة 1.2

أضف $8 \cos (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$16 \sin^{2} (x) - 16 + 8 \cos (x) = 0$

خطوة 2

بسّط $16 \sin^{2} (x) - 16 + 8 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب $16 \sin^{2} (x)$ و $- 16$ .

$- 16 + 16 \sin^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 16$ من $- 16$ .

$- 16 (1) + 16 \sin^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $- 16$ من $16 \sin^{2} (x)$ .

$- 16 (1) - 16 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos (x) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $- 16$ من $- 16 (1) - 16 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 16 (1 - \sin^{2} (x)) + 8 \cos (x) = 0$

خطوة 2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- 16 \cos^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$- 16 u^{2} + 8 u = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $8 u$ من $- 16 u^{2} + 8 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $8 u$ من $- 16 u^{2}$ .

$8 u (- 2 u) + 8 u = 0$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $8 u$ من $8 u$ .

$8 u (- 2 u) + 8 u (1) = 0$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $8 u$ من $8 u (- 2 u) + 8 u (1)$ .

$8 u (- 2 u + 1) = 0$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$8 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $- 2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $- 2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 2 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \cos (x) = - 1$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 3.4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 3.4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 3.4.2.5

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 3.4.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 3.4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 3.4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 3.4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 3.4.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 3.4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $8 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$