حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

خطوة 1

استبدِل $2 \sec^{2} (x)$ بـ $2 (1 + \tan^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

خطوة 2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

خطوة 3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

خطوة 4

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

خطوة 6

أضف $u$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

خطوة 7

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

خطوة 8

اطرح $3$ من $2$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

خطوة 9

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب في $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

خطوة 9.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

خطوة 9.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

خطوة 9.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 11.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 11.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 11.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 12.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 13

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 14

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 15

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

خطوة 16

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

خطوة 16.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

احسِب قيمة $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

خطوة 16.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

خطوة 16.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

خطوة 16.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

خطوة 16.4.3

أضف $3.14159265$ و $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

خطوة 16.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 16.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 16.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 16.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 16.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 17

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 17.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 17.3

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 17.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 17.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 17.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 17.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 17.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 17.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 17.6

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.6.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 17.6.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 17.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.6.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 17.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 17.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.6.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 17.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 17.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 17.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 18

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 19

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

ادمج $0.4636476 + π n$ و $3.60524026 + π n$ في $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 19.2

ادمج $\frac{3 π}{4} + π n$ و $\frac{3 π}{4} + π n$ في $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$