حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sin^{2} (x) + \sin (2 x) = 0$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.4

افصِل الكسور.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 5.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 5.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 5.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

خطوة 5.2.8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 1$

خطوة 5.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 5.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.11

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 5.2.12

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.12.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 5.2.12.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.13

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.2.13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.2.13.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.2.14

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.14.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 5.2.14.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.14.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.14.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.2.14.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 5.2.14.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.14.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 5.2.14.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.14.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.2.15

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$