حساب المثلثات الأمثلة

$2 \tan (x) - \sec^{2} (x) = 0$

خطوة 1

استبدِل $- \sec^{2} (x)$ بـ $- (1 + \tan^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) - (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \tan (x) - 1 \cdot 1 - \tan^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \tan (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1 = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

خطوة 5

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2} + 2 u - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u - 1 = 0$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 = 0$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 5.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2} - 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

خطوة 5.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$- {(u - 1)}^{2} = 0$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $- {(u - 1)}^{2} = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $- {(u - 1)}^{2} = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- {(u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{{(u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم ${(u - 1)}^{2}$ على $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 8

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 10

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 11

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 12

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 13

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 13.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 13.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 13.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 14

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 14.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 14.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 14.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 15

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$