حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 3

اضرب كلا المتعادلين في $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 4

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) (2 \sin (x)) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 6

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 7

اضرب $2 \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 7.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 7.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 8

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

خطوة 9

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 10

استبدِل $2 \sin^{2} (x)$ بـ $2 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 11.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 12

اطرح $1$ من $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 13

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} + u + 1 = 0$

خطوة 14

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2} + u + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

خطوة 14.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $u$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

خطوة 14.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

خطوة 14.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

خطوة 14.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

خطوة 14.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

خطوة 14.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

خطوة 14.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 14.2.1.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 14.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 14.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

خطوة 14.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 14.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 15

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 16

عيّن قيمة العبارة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

عيّن قيمة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u + 1 = 0$

خطوة 16.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 u = - 1$

خطوة 16.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 16.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 16.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

خطوة 16.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1}{2}$

خطوة 17

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 17.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 18

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 19

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 20

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

خطوة 21

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 21.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 21.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 21.4

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 21.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 21.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 21.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 21.4.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 21.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 21.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 21.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 21.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 21.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 22

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 22.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 22.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 22.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 22.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 22.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 22.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 22.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 22.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 23

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 24

وحّد الإجابات.

$x = \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$