حساب المثلثات الأمثلة

$x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12 = 0$

خطوة 1

حلّل $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

خطوة 1.3

عوّض بـ $- 6$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 6$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $- 6$ في متعدد الحدود.

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 + 12$

خطوة 1.3.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $3$ .

$- 216 + 4 {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 + 12$

خطوة 1.3.3

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$- 216 + 4 \cdot 36 - 10 \cdot - 6 + 12$

خطوة 1.3.4

اضرب $4$ في $36$ .

$- 216 + 144 - 10 \cdot - 6 + 12$

خطوة 1.3.5

أضف $- 216$ و $144$ .

$- 72 - 10 \cdot - 6 + 12$

خطوة 1.3.6

اضرب $- 10$ في $- 6$ .

$- 72 + 60 + 12$

خطوة 1.3.7

أضف $- 72$ و $60$ .

$- 12 + 12$

خطوة 1.3.8

أضف $- 12$ و $12$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $- 6$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 6$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12}{x + 6}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ على $x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$12$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 6 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							+	$2 x$	+	$12$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x + 12$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							-	$2 x$	-	$12$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							-	$2 x$	-	$12$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 2 x + 2$

خطوة 1.6

اكتب $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

خطوة 4.2.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + i, 1 - i$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = - 6, 1 + i, 1 - i$