حساب المثلثات الأمثلة

$9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 1$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$9 {(u)}^{2} - 5 u = 1$

خطوة 2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$9 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 9$ و $b = - 5$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 1)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $- 36$ في $- 1$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.1.3

أضف $25$ و $36$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{18}$

خطوة 6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

خطوة 8

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$

$\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$ .

$x = 0.79188753$

خطوة 9.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

خطوة 9.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.79188753$

خطوة 9.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

خطوة 9.4.3

اطرح $0.79188753$ من $3.14159265$ .

$x = 2.34970512$

خطوة 9.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 9.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 9.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$ .

$x = - 0.15676629$

خطوة 10.3

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.15676629$

خطوة 10.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

خطوة 10.4.3

أضف $3.14159265$ و $0.15676629$ .

$x = 3.29835895$

خطوة 10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.15676629$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.15676629 + 2 π$

خطوة 10.6.2

اطرح $0.15676629$ من $2 π$ .

$6.126419$

خطوة 10.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 6.126419$

خطوة 10.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n, 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$