حساب المثلثات الأمثلة

$4 \sin^{2} (x) = 9 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 1$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $9 \cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) = 6 \cos (x) + 1$

خطوة 1.2

اطرح $6 \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) = 1$

خطوة 1.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2

استبدِل $4 \sin^{2} (x)$ بـ $4 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $1$ من $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $9 \cos^{2} (x)$ من $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$- 13 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 13 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

خطوة 6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7

عوّض بقيم $a = - 13$ و $b = - 6$ و $c = 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 13 \cdot 3)}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 13 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 13 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 52 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.1.2.2

اضرب $52$ في $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 156}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.1.3

أضف $36$ و $156$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.1.4

أعِد كتابة $192$ بالصيغة $8^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

أخرِج العامل $64$ من $192$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.1.4.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot - 13}$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$

خطوة 8.3

بسّط $\frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$ .

$u = \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{- 13}$

خطوة 8.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{13}$

خطوة 9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

خطوة 10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

خطوة 11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$

$\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 2.43983383$

خطوة 12.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

خطوة 12.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

خطوة 12.4.2

بسّط $2 (3.14159265) - 2.43983383$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.43983383$

خطوة 12.4.2.2

اطرح $2.43983383$ من $6.2831853$ .

$x = 3.84335147$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$

خطوة 13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 1.26382862$

خطوة 13.3

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

خطوة 13.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

خطوة 13.4.2

بسّط $2 (3.14159265) - 1.26382862$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.26382862$

خطوة 13.4.2.2

اطرح $1.26382862$ من $6.2831853$ .

$x = 5.01935668$

خطوة 13.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

اسرِد جميع الحلول.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n, 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$