حساب المثلثات الأمثلة

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

خطوة 1

استبدِل $4 \cos^{2} (x)$ بـ $4 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

خطوة 2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

خطوة 3

اطرح $5$ من $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

خطوة 5

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 5.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

خطوة 5.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة $4 u^{2}$ بالصيغة ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

خطوة 5.2.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 2 u$ و $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم ${(2 u + 1)}^{2}$ على $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u + 1 = 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 u = - 1$

خطوة 8.2

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1}{2}$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 10

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 11

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 12

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 13

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 13.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 14

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 15.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 15.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 15.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 15.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 15.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 15.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 16

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$