حساب المثلثات الأمثلة

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

خطوة 1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

خطوة 1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

خطوة 1.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

خطوة 2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (x^{3}) = 6$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

خطوة 4.2

اطرح $e^{6}$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} - e^{6} = 0$

خطوة 4.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة $e^{6}$ بالصيغة ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

خطوة 4.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب الأُسس في ${(e^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

خطوة 4.3.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

خطوة 4.3.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

خطوة 4.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

خطوة 4.5

عيّن قيمة العبارة $x - e^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عيّن قيمة $x - e^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - e^{2} = 0$

خطوة 4.5.2

أضف $e^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = e^{2}$

خطوة 4.6

عيّن قيمة العبارة $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عيّن قيمة $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

خطوة 4.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = e^{2}$ و $c = e^{4}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e^{2}$ و $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.3.2

أضف $e^{2}$ و $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.3.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.3.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.4

اطرح $2 e^{2}$ من $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1.5.1

أخرِج السالب.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.5.2

اضرب $e^{2}$ في $e^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1.5.2.1

انقُل $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.5.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.5.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $- 3 e^{4}$ بالصيغة ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1.6.1

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.6.3

أعِد كتابة $e^{4}$ بالصيغة ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.6.4

انقُل $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.6.5

أعِد كتابة $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ بالصيغة ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.6.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ صحيحة.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$