حساب المثلثات الأمثلة

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أكمل المربع لـ $4 y^{2} - 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

خطوة 1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 4}{4}$

خطوة 1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

خطوة 1.1.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

خطوة 1.2

استبدِل $4 y^{2} - 8 y$ بـ $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ في المعادلة $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

خطوة 1.3

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

خطوة 1.4

أكمل المربع لـ $- 25 x^{2} + 100 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

خطوة 1.4.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.4.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

خطوة 1.4.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $100$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

خطوة 1.4.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

خطوة 1.4.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

خطوة 1.4.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{50}{- 25}$

خطوة 1.4.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $50$ و $- 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

خطوة 1.4.3.2.2.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

خطوة 1.4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$d = - 2$

خطوة 1.4.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

خطوة 1.4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1.1

ارفع $100$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

خطوة 1.4.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

خطوة 1.4.4.2.1.3

اقسِم $10000$ على $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

خطوة 1.4.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 100$ .

$e = 0 + 100$

خطوة 1.4.4.2.2

أضف $0$ و $100$ .

$e = 100$

خطوة 1.4.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

خطوة 1.5

استبدِل $- 25 x^{2} + 100 x$ بـ $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ في المعادلة $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

خطوة 1.6

انقُل $100$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $100$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

خطوة 1.7

بسّط $196 + 4 - 100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف $196$ و $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

خطوة 1.7.2

اطرح $100$ من $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

خطوة 1.8

اقسِم كل حد على $100$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

خطوة 1.9

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد خطوط تقارب القطع الزائد.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

خطوة 4

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

خطوة 5

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

خطوة 5.2

بسّط $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

خطوة 5.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

خطوة 5.2.1.3

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

خطوة 5.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

خطوة 5.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

خطوة 5.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $5$ في $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

خطوة 5.2.2

أضف $- 5$ و $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

خطوة 6

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

خطوة 6.2

بسّط $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

خطوة 6.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

خطوة 6.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

خطوة 6.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

خطوة 6.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

خطوة 6.2.1.6

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

خطوة 6.2.2

أضف $5$ و $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

خطوة 7

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

خطوة 8

خطا التقارب هما $y = \frac{5 x}{2} - 4$ و $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

خطوط التقارب: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

خطوة 9