حساب المثلثات الأمثلة

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2 \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

خطوة 1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2

استبدِل $4 \sin^{2} (x)$ بـ $4 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

خطوة 6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7

عوّض بقيم $a = - 4$ و $b = - 2$ و $c = 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.2.2

اضرب $16$ في $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.3

أضف $4$ و $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.4

أعِد كتابة $52$ بالصيغة $2^{2} \cdot 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

خطوة 8.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

خطوة 8.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

خطوة 9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

خطوة 10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

خطوة 11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 13

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

خطوة 13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

خطوة 13.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

خطوة 13.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

خطوة 13.4.2

بسّط $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

خطوة 13.4.2.2

اطرح $0.86138422$ من $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

خطوة 13.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 13.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$