حساب المثلثات الأمثلة

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

خطوة 1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

خطوة 2

بسّط $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $- 4 \cos (2 x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

خطوة 2.1.3

أضف الأقواس.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

خطوة 2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

خطوة 3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

خطوة 3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

خطوة 3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

خطوة 4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 5.1.2.2

اقسِم $\cos (2 x)$ على $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x \leq \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 x \leq \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 x \leq \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.4.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.4.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

خطوة 5.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.6.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.6.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.6.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.6.1.5

اطرح $π$ من $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.6.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 5.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 5.6.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 5.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.6.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.6.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.7

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.7.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 5.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 5.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 5.7.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.8

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

خطوة 5.11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 5.11.1.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

خطوة 5.11.1.3

الطرف الأيسر $0.65364362$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.11.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 5.11.2.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

خطوة 5.11.2.3

الطرف الأيسر $- 0.96017028$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.11.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ صحيحة

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ خطأ

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ صحيحة

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ خطأ

خطوة 5.12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

خطوة 7