حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

خطوة 1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = - 1$

خطوة 2.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = - 1$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

خطوة 2.6

وحّد الحلول.

$\sin (x) = - 1, 1$

خطوة 2.7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

خطوة 2.8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 2.8.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 2.8.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 2.8.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.8.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.8.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 2.8.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.8.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.8.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.8.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.8.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 2.8.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.8.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (1)$

خطوة 2.9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.9.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.9.4

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.9.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.9.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.9.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 2.9.4.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.9.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.9.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.9.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.10

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.11

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.12

أوجِد نطاق $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 - \sin (x) = 0$

خطوة 2.12.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = - 1$

خطوة 2.12.2.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.12.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.12.2.2.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.12.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

خطوة 2.12.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (1)$

خطوة 2.12.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.12.2.5

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.12.2.6

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.12.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.12.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.12.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.6.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 2.12.2.6.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.12.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.12.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.12.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.12.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.12.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.12.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.13

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

خطوة 2.14

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 2.14.1.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

خطوة 2.14.1.3

الطرف الأيسر $1.32861403$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.14.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 2.14.2.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

خطوة 2.14.2.3

الطرف الأيسر $0.56321382$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.14.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ صحيحة

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ صحيحة

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ صحيحة

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ صحيحة

خطوة 2.15

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ أو $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.16

اجمع الفترات.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$1 - \sin (x) = 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = - 1$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

خطوة 4.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (1)$

خطوة 4.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.5

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.6

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 4.6.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 4.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6