حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (\frac{5 π}{8}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{5 π}{8})$ هي $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $\frac{5 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثاني.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.6

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.1.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.4

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.2.5.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3

اضرب $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$- \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.3

وسّع $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.4

اضرب $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.4.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.2

اطرح $2$ من $4$ .

$- \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.3

أضف $- 2 \sqrt{2}$ و $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.4.4

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{5 π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة $\frac{5 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}) \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الثاني.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.7

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.7.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.4.4.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

خطوة 1.5.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

خطوة 1.5.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الأول.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

خطوة 1.5.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 1.5.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 1.5.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 1.5.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 1.5.4.5

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.5.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.5.4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

خطوة 1.5.4.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

خطوة 1.5.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 1.5.4.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 1.6

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3

وسّع $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.4

اضرب $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.4.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.2

اطرح $2$ من $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.3

أضف $- 2 \sqrt{2}$ و $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.4.4

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.5

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

خطوة 2.2

أضف $- \sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{4}$

خطوة 2.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$0$