حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{12})$ هي $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم $\frac{π}{12}$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.2

طبّق متطابقة الفرق بين زاويتين $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7

بسّط $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7.1.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7.1.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.3.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.4

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.7

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

اضرب $3$ في $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.8.2

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.8.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.8.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.8.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.9

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.10

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{12})$

خطوة 1.11

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{12})$ هي $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

قسّم $\frac{π}{12}$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

خطوة 1.11.2

طبّق متطابقة الفرق بين زاويتين.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 1.11.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 1.11.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 1.11.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 1.11.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.11.7

بسّط $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.7.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.7.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.11.7.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.11.7.1.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.11.7.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.11.7.1.2

اضرب $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.7.1.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

خطوة 1.11.7.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

خطوة 1.11.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 1.12

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

اضرب $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.12.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

خطوة 2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.2

اضرب $- - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.2.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $3 \sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 4.2

اطرح $\sqrt{6}$ من $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

خطوة 4.3

أضف $4 \sqrt{2}$ و $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.70710678 \dots$