حساب المثلثات الأمثلة

$\cot (3 x) < 0$

خطوة 1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$3 x < arccot (0)$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $3 x < \frac{π}{2}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $3 x < \frac{π}{2}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 3.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

خطوة 4

دالة ظل التمام موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 5.1.2

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 5.1.4

أضف $π \cdot 2$ و $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

خطوة 5.1.4.2

أضف $2 \cdot π$ و $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 6

أوجِد فترة $\cot (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 6.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 3 |}$

خطوة 6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{π}{3}$

خطوة 7

فترة دالة $\cot (3 x)$ هي $\frac{π}{3}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{π}{3}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

أوجِد نطاق $\cot (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\cot (3 x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $3 x = π n$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = π n$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

خطوة 9.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

خطوة 11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \frac{π}{6}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \frac{π}{6}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.26$

خطوة 11.1.2

استبدِل $x$ بـ $0.26$ في المتباينة الأصلية.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

خطوة 11.1.3

الطرف الأيسر $1.01085502$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 11.2.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\cot (3 (1)) < 0$

خطوة 11.2.3

الطرف الأيسر $- 7.01525255$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.3

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.31$

خطوة 11.3.2

استبدِل $x$ بـ $1.31$ في المتباينة الأصلية.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

خطوة 11.3.3

الطرف الأيسر $0.99399967$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < \frac{π}{6}$ خطأ

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ خطأ

$0 < x < \frac{π}{6}$ خطأ

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ خطأ

خطوة 12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13