حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, u, 1, 1$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$u$

خطوة 3

اضرب كل حد في $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ في $u$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ في $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $u$ في $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

خطوة 3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $u$ في $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

خطوة 4

أوجِد حل المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد الكتابة بحيث تصبح $u$ في الطرف الأيسر للمتباينة.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

خطوة 4.2

اطرح $u^{2}$ من كلا طرفي المتباينة.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

خطوة 4.3

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

خطوة 4.4

اطرح $\sqrt{3}$ من كلا المتعادلين.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

خطوة 4.5

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

خطوة 4.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

خطوة 4.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

خطوة 4.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

خطوة 4.6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

خطوة 4.7

عيّن قيمة العبارة $- u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

عيّن قيمة $- u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- u + 1 = 0$

خطوة 4.7.2

أوجِد قيمة $u$ في $- u + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- u = - 1$

خطوة 4.7.2.2

اقسِم كل حد في $- u = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.1

اقسِم كل حد في $- u = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.7.2.2.2.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$u = 1$

خطوة 4.8

عيّن قيمة العبارة $u - \sqrt{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

عيّن قيمة $u - \sqrt{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

خطوة 4.8.2

أضف $\sqrt{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$u = \sqrt{3}$

خطوة 4.9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ صحيحة.

$u = 1, \sqrt{3}$

خطوة 5

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

خطوة 6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 7.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 7.4

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 7.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 7.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 7.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 7.4.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 7.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 7.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 7.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (\sqrt{3})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 8.3

$x = π + \frac{π}{3}$

خطوة 8.4

بسّط $π + \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 8.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

خطوة 8.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

خطوة 8.4.3.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 8.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 8.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 8.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ادمج $\frac{π}{4} + π n$ و $\frac{5 π}{4} + π n$ في $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.2

ادمج $\frac{π}{3} + π n$ و $\frac{4 π}{3} + π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

أوجِد نطاق $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11.2

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\cot (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

خطوة 13

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 13.1.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

خطوة 13.1.3

الطرف الأيسر $2.66954475$ أصغر من الطرف الأيمن $2.7320508$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 13.2.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

خطوة 13.2.3

الطرف الأيسر $- 2.97772599$ أصغر من الطرف الأيمن $2.7320508$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.3

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 13.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

خطوة 13.3.3

الطرف الأيسر $2.65377824$ أصغر من الطرف الأيمن $2.7320508$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ صحيحة

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ صحيحة

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ صحيحة

خطوة 14

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

خطوة 15

اجمع الفترات.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16