حساب المثلثات الأمثلة

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

خطوة 1

حلّل $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\csc^{5} (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $- 4 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\csc (x)$ من $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ .

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\csc^{4} (x)$ بالصيغة ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \csc^{2} (x)$ و $b = 2$ .

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\csc (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\csc (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\csc (x) = 0$

خطوة 3.2

مدى دالة قاطع التمام هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\csc^{2} (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\csc^{2} (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\csc^{2} (x) = 2$

خطوة 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

خطوة 4.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

خطوة 4.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

خطوة 4.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 4.2.4

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

خطوة 4.2.5

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

خطوة 4.2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (\sqrt{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5.3

دالة قاطع التمام موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5.4

بسّط $π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 4.2.5.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.4.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 4.2.5.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 4.2.5.5

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.5.6

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.6

أوجِد قيمة $x$ في $\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قاطع التمام.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

خطوة 4.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccsc (- \sqrt{2})$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

خطوة 4.2.6.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

خطوة 4.2.6.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{5 π}{4}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 4.2.6.5

أوجِد فترة $\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.6.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

خطوة 4.2.6.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.6.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 4.2.6.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.6.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

خطوة 4.2.6.6.4.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

خطوة 4.2.6.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 4.2.6.7

فترة دالة $\csc (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.7

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$