حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{3 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\sin (x)$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $1$ زائد $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1}$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

خطوة 5.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 5.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 5.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(u + 1)}^{2}}$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

خطوة 7

اختزِل العبارة $\frac{(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $\sin (x) + 1$ من $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{{(\sin (x) + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $\sin (x) + 1$ من ${(\sin (x) + 1)}^{2}$ .

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(\sin (x) + 1) (3 \sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

خطوة 7.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$