حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) = \sin (x)$ , $(0, 2 π)$

خطوة 1

اطرح $\sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

خطوة 2

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 5.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 6.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 6.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 6.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 6.2.6.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 6.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

خطوة 9.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

خطوة 9.1.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $\frac{π}{3}$ و $0$ .

$\frac{π}{3}$

خطوة 9.1.3

الفترة $(0, 2 π)$ تتضمن $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 9.2

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$π (1)$

خطوة 9.2.2

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 9.2.3

الفترة $(0, 2 π)$ تتضمن $π$ .

$x = \frac{π}{3}, π$

خطوة 9.3

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $(0, 2 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{5 π}{3} + 2 π (0)$

خطوة 9.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{5 π}{3} + 0 π$

خطوة 9.3.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{5 π}{3} + 0$

خطوة 9.3.2.2

أضف $\frac{5 π}{3}$ و $0$ .

$\frac{5 π}{3}$

خطوة 9.3.3

الفترة $(0, 2 π)$ تتضمن $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$