حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (x) + \sec (x) = 2 \cos (x)$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) = 2 \cos (x)$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} = 2 \cos (x)$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) = \cos (x) (2 \cos (x))$

خطوة 3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \cos (x))$

خطوة 4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \cos (x))$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \cos (x))$

خطوة 5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \cos (x))$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) + 1 = \cos (x) (2 \cos (x))$

خطوة 6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\sin (x) + 1 = 2 \cos (x) \cos (x)$

خطوة 7

اضرب $2 \cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) + 1 = 2 (\cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 7.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) + 1 = 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) + 1 = 2 {\cos (x)}^{1 + 1}$

خطوة 7.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) + 1 = 2 \cos^{2} (x)$

خطوة 8

اطرح $2 \cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 9

استبدِل $- 2 \cos^{2} (x)$ بـ $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sin (x) + 1 - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) + 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 10.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\sin (x) + 1 - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\sin (x) + 1 - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 11

اطرح $2$ من $1$ .

$\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 12

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 13

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

خطوة 14

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اضرب في $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

خطوة 14.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

خطوة 14.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 14.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 14.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

خطوة 14.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 15

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 16

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 16.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 16.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 16.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 16.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 17

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 17.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 18

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 19

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 20

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

خطوة 21

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 21.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 21.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 21.4

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 21.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 21.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 21.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 21.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 21.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 21.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 21.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 21.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 21.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 22

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 22.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 22.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 22.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 22.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 22.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 22.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 22.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 22.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 22.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 22.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 22.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 22.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 22.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 22.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 22.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 22.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 23

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 24

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$