حساب المثلثات الأمثلة

$8 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 8 = 0$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$8 {(u)}^{2} + 16 (u) + 8 = 0$

خطوة 2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $8$ من $8 u^{2} + 16 u + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 u^{2}$ .

$8 u^{2} + 16 u + 8 = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $8$ من $16 u$ .

$8 u^{2} + 8 (2 u) + 8 = 0$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$8 u^{2} + 8 (2 u) + 8 (1) = 0$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $8$ من $8 u^{2} + 8 (2 u)$ .

$8 (u^{2} + 2 u) + 8 (1) = 0$

خطوة 2.1.5

أخرِج العامل $8$ من $8 (u^{2} + 2 u) + 8 (1)$ .

$8 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$8 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$8 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$8 {(u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $8 {(u + 1)}^{2} = 0$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $8 {(u + 1)}^{2} = 0$ على $8$ .

$\frac{8 {(u + 1)}^{2}}{8} = \frac{0}{8}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 {(u + 1)}^{2}}{8} = \frac{0}{8}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم ${(u + 1)}^{2}$ على $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{8}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم $0$ على $8$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1$

خطوة 7

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 9

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 10

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 10.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 11

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 11.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 11.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 11.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 12.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 12.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 12.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 12.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 12.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 12.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 13

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

وحّد الإجابات.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$