حساب المثلثات الأمثلة

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

خطوة 2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 1$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.1.3

أضف $1$ و $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

خطوة 5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

خطوة 7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 0.87507547$

خطوة 8.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

خطوة 8.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

خطوة 8.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

خطوة 8.4.3

اطرح $0.87507547$ من $3.14159265$ .

$x = 2.26651717$

خطوة 8.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 8.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 0.44921499$

خطوة 9.3

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

خطوة 9.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

خطوة 9.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

خطوة 9.4.3

أضف $3.14159265$ و $0.44921499$ .

$x = 3.59080764$

خطوة 9.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 9.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 9.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 9.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 9.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.44921499$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.44921499 + 2 π$

خطوة 9.6.2

اطرح $0.44921499$ من $2 π$ .

$5.83397031$

خطوة 9.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 5.83397031$

خطوة 9.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$