حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x} - e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

خطوة 2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $e^{- x}$ في صورة أُس.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

خطوة 3.4.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

خطوة 3.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, u, 1$

خطوة 3.5.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$u$

خطوة 3.5.2

اضرب كل حد في $4 u - \frac{4}{u} = 1$ في $u$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب كل حد في $4 u - \frac{4}{u} = 1$ في $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

اضرب $u$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1.1

انقُل $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

خطوة 3.5.2.2.1.1.2

اضرب $u$ في $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

خطوة 3.5.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{u}$ إلى بسط الكسر.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

خطوة 3.5.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

خطوة 3.5.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

اضرب $u$ في $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

خطوة 3.5.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اطرح $u$ من كلا المتعادلين.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

خطوة 3.5.3.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5.3.3

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = - 1$ و $c = - 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.4.1.2.2

اضرب $- 16$ في $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.4.1.3

أضف $1$ و $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

خطوة 3.5.3.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

خطوة 3.6

عوّض بـ $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

خطوة 3.7

أوجِد حل $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

خطوة 3.7.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

خطوة 3.7.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

خطوة 3.7.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

خطوة 3.7.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

خطوة 3.8

عوّض بـ $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

خطوة 3.9

أوجِد حل $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

خطوة 3.9.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

خطوة 3.9.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.9.4

لا يوجد حل لـ $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

لا يوجد حل

خطوة 3.10

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

الصيغة العشرية:

$x = 0.12467674 \dots$